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克极小固定点真理论

2019-06-14 11:36 来源:未知

  克里普克方案相对于分层方案来说的最大优点就是真正实现了只有一个真谓词,并且在这里是语义封闭的,即可以自己说自己真或不真,这与日常语言更相符合。这也是克里普克方案较之塔尔斯基方案的最大优势之所在。

  但是克里普克方案也是有问题的,首先,像A→A以及AA以及需要借助这些定理推出的其他定理等都不是普遍有效的。更重要的是,这些公式之所以不再是有效的是因为排中律在这里不再有效,也就是强克林三值语义学中存在真值间隙,它既不是真的也不是假的。这就与日常语言以及常识相去太远。

  其次前面提到,在固定点模型下,可以实现的等值置换,但是无法使得或者其弱化的单边形式成为该模型下有效的。

  不只是上面提到的这些定理不成立,对角线定理的通常表述在这种情况下也是不成立的。通常的对角线定理表述为:任给带一个自由变项的开公式P(),存在一个句子

  上面提到了真值间隙,其实真值间隙导致的问题不只是使某些通常接受的定理不再是有效式,而且还有一个很重要的问题就是其否定是选择性否定,而不是排除性否定。这与日常直觉相差很大,日常思维中固然有选择性否定,但日常思维中同样也有排除性否定,克里普克的方法只对这种选择性否定有意义,一旦引入排除性否定同样可以构造出新的悖论。所以,在克里普克的方案中,L不包含这样一个谓词N使得

  ,所以从χ是真的可以推出χ是假的或者是既不真也不假的,从χ是假的或者是既不真也不假的可以推出χ是真的,这即使在三值情况下依旧是矛盾。在这种情况下,或者克里普克方案的表达力太弱以至不能表达排除性否定或者它将面临着新的说谎者的复仇。“因此像‘本语句是假的或无根的’这样的强化的说谎者悖论就无法用他的理论来解决”[3]。

  另外,很容易看出,其实克里普克的方案也是有“分层”的,只不过他的方案中的分层只是模型的分层,而不是语言的分层。在语言上克里普克方案中只有一个真谓词,而不是很多的真谓词,但是这个真谓词的外延随着模型分层的变化而变化,直到达到极小固定点模型才停止扩充。除了这种模型的内在分层之外,克里普克还承认有语言的分层,但这个分层是在他的方案之外的元语言层次,并且正是在元语言中我们才可以(在排除性的否定的意义上)说“说谎者语句不是真的”,而这句话不能在他的理论中表达。所以克里普克说“上升到元语言的必然性可能是目前理论的弱点之一。塔尔斯基分层的幽灵依旧伴随着我们”[1]。

  ①上面只是按照出现的时间来介绍的,事实上,说谎者悖论的发现很大程度上应该归功于欧布里斯,尽管他比埃庇米尼得斯要晚两个世纪,因为把埃庇米尼得斯的那句话理解为悖论是很晚之后的事情了。圣·保罗自己并没有意识到这句话的悖论性。按照Spade,Paul Vincent在1973年发表的“The Origins of the Mediaeval Insolubilia Literature”中记载,甚至在中世纪的关于说谎者悖论的文献中也没有人提到埃庇米尼得斯这句话的悖论性。

  ②如果把T、U和F分别用数字表示为1、0.5和0的话,那么强克林的三值逻辑的赋值的特点是:合取式的值等于合取支中的最小值,析取式的值等于取析取支中的最大值,蕴涵式按通常的方式被否定和析取定义;波兹瓦逻辑(弱克林逻辑)关于否定的赋值与强克林的赋值一样,其他情况下的特点是:如果一个公式(合取式或析取式)中有一个支的取值是U(0.5),那么这个公式的值为U,否则,合取式的取值为合取支中的最小值,析取式的取值为析取支中最大值,蕴涵式按通常的方式被否定和析取定义;卢卡西维奇的三值逻辑与强克林逻辑在否定、合取、析取上的赋值一样,区别在于有关蕴涵的赋值,而且关于蕴涵的其他赋值也都一样,只是在前件为U且后件也为U的时候在卢卡西维奇逻辑中的赋值是T,所以“A→A”在卢卡西维奇逻辑中是有效式,而这个公式在强克林那里并不是有效的,这也是克里普克方案的一个问题之所在。

  ③其中下标“1”表示“外延”,“2”表示“反外延”,“α”表示语言的层次。

  ④这里需要澄清一下,克里普克在文章中认为他的方案是二值的,即T和F,而不是三值的,所以U是没有真值而不是第三值,只不过这种没有真值的情况和把它当作第三值并按强克林逻辑处理的时候是一样的,所以可以把它当作三值的方案来看,但其实克里普克只承认T和F二值,所以这里的真值是指T或F。

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